概要如是说下基本原理，再提供更多两个Stata的操作方式。
在单表达式重回中, 两个相对平稳的天数字符串 yty_{t} 时常被数学模型化成 ARA R 操作过程:
yt=α0+α1yt−1+α2yt−2+⋯+αkyt−k+ϵty_{t}=\alpha_{0}+\alpha_{1} y_{t-1}+\alpha_{2} y_{t-2}+\cdots+\alpha_{k} y_{t-k}+\epsilon_{t} \\
当他们预测数个天数字符串时，两个对ARA R 数学模型大自然的开拓是 VAR 数学模型， 在那个数学模型中几组矢量里的每一天数字符串被数学模型 化成下定决心于他们的发展缓慢项和实蕨矢量里大部份其它表达式的发展缓慢项。后厝仔庄 VAR 数学模型如下表所示式:
yt=α0+α1yt−1+α2xt−1+ϵ1txt=β0+β1yt−1+β2xt−1+ϵ2t\begin{aligned} y_{t} &=\alpha_{0}+\alpha_{1} y_{t-1}+\alpha_{2} x_{t-1}+\epsilon_{1 t} \\ x_{t} &=\beta_{0}+\beta_{1} y_{t-1}+\beta_{2} x_{t-1}+\epsilon_{2 t} \end{aligned} \\
经济学家通常使用这种形式的数学模型预测宏观数据、做出因果推断并提供更多政策建议。在这篇推文中，我会用美国失业率、通胀率和名义利率估计两个三表达式 VAR 数学模型。那个 VAR 模型类似于宏观经济中做 货币政策预测的数学模型。这篇文章的主要关注点在于该数学模型的基本估计和估计结果评估， 数据和 do文件在文末提供更多。背景知 识和理论细节可以在这篇文章中获得。
数据和估计
当使用 VAR 数学模型进行估计时，他们需要做两个下定决心。第两个是需要选择将那些表达式放入 VAR 数学模型中，那个下定决心一般取决 于研究问题和相关文献。第二个下定决心是需要选择发展缓慢阶数。下定决心了发展缓慢阶数后，就可以开始估计。得到估计结果后,flation为 CPI, unrate 为失业率,ffr则表示利率。因此，本文估计的 VAR 数学模型为:
[ inflation t unrate tffrt]=a0+A1[ in flation t−1 unrate t−1 ffr t−1]+⋯+Ak[ inflation t−k unrate t−k ffr t−k]+[ϵ1,tϵ2,tϵ3,t]\left[\begin{array}{c} \text { inflation }_{t} \\ \text { unrate }_{t} \\ \mathrm{ffr}_{t} \end{array}\right]=a_{0}+A_{1}\left[\begin{array}{c} \text { in flation }_{t-1} \\ \text { unrate }_{t-1} \\ \text { ffr }_{t-1} \end{array}\right]+\cdots+A_{k}\left[\begin{array}{c} \text { inflation }_{t-k} \\ \text { unrate }_{t-k} \\ \text { ffr }_{t-k} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} \epsilon_{1, t} \\ \epsilon_{2, t} \\ \epsilon_{3, t} \end{array}\right] \\
其中， a0a_{0} 是由截距项组成的矢量， A1A_{1} 到 AKA_{K} 均为 3×33 \times 3的系数矩阵。包含这些表达式的 VAR 数学模型或相近的数学模型变体时常 出现在货币政策预测中。
下一步是下定决心两个合理的发展缓慢阶数，我使用 varsoc\operatorname{varsoc} 命令执行发展缓慢结束选择测试。
.
varsoc inflation unrate ffr, maxlag(8)
Selection-order criteria
Sample: 41 – 236 Number of obs = 196
+—————————————————————————+
|lag | LL LR df p FPE AIC HQIC SBIC |
|—-+———————————————————————-|
| 0 | -1242.78 66.5778 12.712 12.7323 12.7622 |
| 1 | -433.701 1618.2 9 0.000 .018956 4.54796 4.62922 4.74867 |
| 2 | -366.662 134.08 9 0.000 .010485 3.95574 4.09793 4.30696* |
| 3 | -351.034 31.257 9 0.000 .009801 3.8881 4.09123 4.38985 |
| 4 | -337.734 26.6 9 0.002 .009383 3.84422 4.1083 4.4965 |
| 5 | -319.353 36.763 9 0.000 .008531 3.7485 4.07351 4.5513 |
| 6 | -296.967 44.77* 9 0.000 .007447* 3.61191* 3.99787* 4.56524 |
| 7 | -292.066 9.8034 9 0.367 .007773 3.65373 4.10063 4.75759 |
| 8 | -286.45 11.232 9 0.260 .008057 3.68826 4.1961 4.94265 |
+—————————————————————————+
Endogenous: inflation unrate ffr
Exogenous: _cons
varsoc 展示了之后发展缓慢阶数选择检验的主要结果，检验的细节可以通过 help varsoc 得到。似然比和 AIC 都推荐选择六阶发展缓慢，因此本文选择六阶发展缓慢。
有了表达式和发展缓慢阶数，需要估计系数矩阵和误差项的协方差矩阵。系数估计可以通过对 VAR 数学模型中的每一等式做 OLS 重回得到，误差项的协方差矩阵则需要根据样本残差的协方差矩阵进行估计。var命令可以同时实现这两个矩阵的估计，其结果中系数矩阵会默认给出，误差项的协方差矩阵则可以 e(Sigma)中找到：
. var inflation unrate ffr, lags(1/6) dfk small
Vector
autoregressionSample: 39 – 236 Number of obs = 198
Log
likelihood= -298.8751 AIC = 3.594698
FPE = .0073199 HQIC = 3.97786
Det(Sigma_ml) = .0041085 SBIC = 4.541321
Equation Parms RMSE R-sq F P > F
—————————————————————-
inflation 19 .430015 0.9773 427.7745 0.0000
unrate 19 .252309 0.9719 343.796 0.0000
ffr 19 .795236 0.9481 181.8093 0.0000
—————————————————————-
——————————————————————————
| Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
————-+—————————————————————-
inflation |
inflation |
L1. | 1.37357 .0741615 18.52 0.000 1.227227 1.519913
L2. | -.383699 .1172164 -3.27 0.001 -.6150029 -.1523952
L3. | .2219455 .1107262 2.00 0.047 .0034489 .440442
L4. | -.6102823 .1105383 -5.52 0.000 -.8284081 -.3921565
L5. | .6247347 .1158098 5.39 0.000 .3962065 .8532629
L6. | -.2352624 .0719141 -3.27 0.001 -.3771708 -.093354
|
unrate |
L1. | -.4638928 .1386526 -3.35 0.001 -.7374967 -.1902889
L2. | .6567903 .2370568 2.77 0.006 .1890049 1.124576
L3. | -.271786 .2472491 -1.10 0.273 -.759684 .2161119
L4. | -.4545188 .2473079 -1.84 0.068 -.9425328 .0334952
L5. | .6755548 .2387697 2.83 0.005 .2043893 1.14672
L6. | -.1905395 .136066 -1.40 0.163 -.4590393 .0779602
|
ffr |
L1. | .1135627 .0439648 2.58 0.011 .0268066 .2003187
L2. | -.1155366 .0607816 -1.90 0.059 -.2354774 .0044041
L3. | .0356931 .0628766 0.57 0.571 -.0883817 .1597678
L4. | -.0928074 .0620882 -1.49 0.137 -.2153263 .0297116
L5. | .0285487 .0605736 0.47 0.638 -.0909816 .1480789
L6. | .0309895 .0436299 0.71 0.478 -.0551055 .1170846
|
_cons | .3255765 .1730832 1.88 0.062 -.0159696 .6671226
————-+—————————————————————-
unrate |
inflation |
L1. | .0903987 .0435139 2.08 0.039 .0045326 .1762649
L2. | -.1647856 .0687761 -2.40 0.018 -.3005019 -.0290693
L3. | .0502256 .064968 0.77 0.440 -.0779761 .1784273
L4. | .0919702 .0648577 1.42 0.158 -.036014 .2199543
L5. | -.0091229 .0679508 -0.13 0.893 -.1432106 .1249648
L6. | -.0475726 .0421952 -1.13 0.261 -.1308366 .0356914
|
unrate |
L1. | 1.511349 .0813537 18.58 0.000 1.350814 1.671885
L2. | -.5591657 .1390918 -4.02 0.000 -.8336363 -.2846951
L3. | -.0744788 .1450721 -0.51 0.608 -.3607503 .2117927
L4. | -.1116169 .1451066 -0.77 0.443 -.3979565 .1747227
L5. | .3628351 .1400968 2.59 0.010 .0863813 .639289
L6. | -.1895388 .079836 -2.37 0.019 -.3470796 -.031998
|
ffr |
L1. | -.022236 .0257961 -0.86 0.390 -.0731396 .0286677
L2. | .0623818 .0356633 1.75 0.082 -.0079928 .1327564
L3. | -.0355659 .0368925 -0.96 0.336 -.1083661 .0372343
L4. | .0184223 .0364299 0.51 0.614 -.0534651 .0903096
L5. | .0077111 .0355412 0.22 0.828 -.0624226 .0778449
L6. | -.0097089 .0255996 -0.38 0.705 -.0602247 .040807
|
_cons | .187617 .1015557 1.85 0.066 -.0127834 .3880173
————-+—————————————————————-
ffr |
inflation |
L1. | .1425755 .1371485 1.04 0.300 -.1280603 .4132114
L2. | .1461452 .2167708 0.67 0.501 -.2816098 .5739003
L3. | -.0988776 .2047683 -0.48 0.630 -.502948 .3051928
L4. | -.4035444 .2044208 -1.97 0.050 -.8069291 -.0001598
L5. | .5118482 .2141696 2.39 0.018 .0892262 .9344702
L6. | -.1468158 .1329922 -1.10 0.271 -.40925 .1156184
|
unrate |
L1. | -1.411603 .2564132 -5.51 0.000 -1.917585 -.9056216
L2. | 1.525265 .4383941 3.48 0.001 .660179 2.39035
L3. | -.6439154 .4572429 -1.41 0.161 -1.546195 .2583646
L4. | .8175053 .4573517 1.79 0.076 -.0849893 1.72
L5. | -.344484 .4415619 -0.78 0.436 -1.21582 .5268524
L6. | .0366413 .2516297 0.15 0.884 -.459901 .5331835
|
ffr |
L1. | 1.003236 .0813051 12.34 0.000 .8427961 1.163676
L2. | -.4497879 .1124048 -4.00 0.000 -.6715968 -.2279789
L3. | .4273715 .1162791 3.68 0.000 .1979173 .6568256
L4. | -.0775962 .114821 -0.68 0.500 -.3041731 .1489807
L5. | .259904 .1120201 2.32 0.021 .0388542 .4809538
L6. | -.2866806 .0806857 -3.55 0.000 -.445898 -.1274631
|
_cons | .2580589 .3200865 0.81 0.421 -.3735695 .8896873
——————————————————————————
. matlist e(Sigma)
| inflation unrate ffr
————-+———————————
inflation | .1849129
unrate | -.0064425 .0636598
ffr | .0788766 -.09169 .6324
var 命令的报告结果以矩阵形式报告，每一方程以其因表达式的名字命名，因此会报告三个方程：通胀方程、失业率方程以 及利率方程。e(Sigma)中则保存 VAR数学模型估计残差的协方差矩阵。注意各个方程的残差相关。 如你所见，估计系数表格非常长。即使不考虑常数项, 两个有nn 个表达式和 kk 阶发展缓慢的VAR 数学模型中也会有 kn2k n^{2}个系数。我 们的 3 表达式, 6 阶发展缓慢的VAR 则有将近 60 个系数，但是他们却仅有 198 个观测。选项 dfk 和sma11\operatorname{sma11}将对默认情形下 报告的大样本统计量进行小样本调整。虽然结果会报告系数、标准误、tt 统计量、 pp统计量等，但是并不能给他们直观的信 息含量，因此很多论文甚至都不会报告这些系数表格，但是他们会报告一些更有信息量的统计量。接下来的两部分将会介 绍两个 VAR 结果预测中常用的统计手段：格兰杰因果检验和脉冲响应函数。
详细内容参见连享会推文
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. lianxh VAR
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. ssc install lianxh, replace
. ssc install songbl, replace
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