他们自学一场函数时，从一场函数的角度观察十元二次方程组、十元一场恒等式，辨认出了二者间的相互亲密关系，借助此种联络能更快的化解有关难题。所以，二次函数与解法，恒等式与否也存有类似于的亲密关系呢？
二次函数图象与x轴的交角情形下定决心解法根的情形
求二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图形与x轴的交角座标，是令y＝0，求ax²+bx+c=0中x的值的难题．这时二次函数就转化成为解法，因而十元二次方程组根的特征值下定决心了双曲线与x轴的交角的特征值。
二次函数图形与x轴的交角的特征值由b²-4ac的位来确认，（1）当二次函数的图形与x轴有三个交角时，b²-4ac＞0，方程组有三个不相等的实根；（2）当二次函数的图形与x轴有且只有一个交角时，b²-4ac=0，方程组有三个相等的实根；（3）当二次函数的图形与x轴没有交角时，b²-4ac＜0，方程组没有实根。
双曲线与直线的交角难题
双曲线与x轴的三个交角的难题实质是双曲线与直线的交角难题，他们能将其延伸到二次函数与一般直线交角难题，要求双曲线与直线交角特征值，他们能联立双曲线和直线得到方程组组。然后转化成为解法的解，当方程组组有两组不同的解时，两函数图象有三个交角；当方程组组有两组相同的解时，两函数图形只有一个交角；当方程组组无解时，两函数图形没有交角。
总之，探究直线与双曲线的交角的难题，最终是讨论方程组(组)的解的难题。求两函数图形交角的难题主要运用转化思想，即将函数的交角难题转化成为求方程组组解的难题或者将求方程组组的解的难题转化成为求双曲线与直线的交角难题。
双曲线与x轴的三个交角间的距离公式
当△＞0时，设双曲线y=ax²+bx+c（a≠0），与x轴的三个交角为A(x1，0)，B(x2，0)，则x1、x2是解法ax²+bx+c=0的三个根，能根据根与系数的亲密关系推导得到双曲线与x轴的三个交角间的距离公式。
双曲线与恒等式的亲密关系
双曲线y=ax²+bx+c（a≠0）在x轴上方的部分点的纵座标都为正，所对应的x的所有值是恒等式ax²+bx+c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵座标都为负，所对应的x的所有值是恒等式ax²+bx+c＜0的解集；恒等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号。
