光学原理回顾：惠更斯－菲涅耳原理

惠更斯－菲涅耳原理（英语：Huygens–Fresnel principle）是研究波传播问题的一种分析方法，因荷兰物理学者克里斯蒂安·惠更斯和法国物理学者奥古斯丁·菲涅耳而命名。这个原理同时适用于远场极限和近场衍射。

费马原理基于用光线来定义光，即用直线来定义光线，研究其传播路径。然而这种方式并不能完整描述光在传播过程中的物理现象，例如随着光束的传播，局部的振幅分布（以及相位分布）会发生变化（即衍射现象），无法用光线的模式来描述这一物理现象，因此需要更贴切的数学、物理模型以及理论来描述更细节的部分。在我以前文章：干涉术：光的干涉原理中，讨论了在以电磁波为主的光学中，将光定义为一种简谐波（ Harmonic wave）、平面波（Plane wave）进行干涉现象的分析计算（为什么这么定义？那就是由实验以及麦克斯韦方程组推导而来的结论了，在此只引用结论不做详述）。在经典物理学中，波具有在相同介质下传播、遇到障碍物（狭缝、小孔、圆盘等）时，偏离原直线方向传播的现象，即光的衍射。在平面波的传播理论中：与平面波前进方向垂直的截面内光是无限扩展的（即振幅是不随着位置变化的常数）。但是在光束中，在与前进方向垂直的截面内的一定区间，振幅却是变化的。

衍射（diffraction）现象可以说是菲涅尔惠更斯原理所代表的的波动光学领域理论研究的最重要研究对象。本文除了介绍惠更斯原理外，亦对惠更斯原理所解释的衍射现象进行简要说明、推导。

Outline

一、惠更斯-菲涅尔原理

二、菲涅尔-基尔霍夫衍射积分

三、菲涅尔近似/菲涅尔衍射

四、夫琅禾费近似/夫琅禾费衍射

五、结语

（我知道很多人大概只会放收藏夹吃灰，不过还是请看看最后的结语，与诸君共勉）

一、惠更斯-菲涅尔原理

1、惠更斯定理

首先先理清惠更斯定理、惠更斯作图法、菲涅尔-惠更斯原理的关系。

惠更斯定理是指：一个波阵面的每个点（面源）可各看做是一个产生球面子波的次级球面波的中心波源，次级波源的波速与频率等于初级波的波速与频率；而且，以后任何时刻波阵面的位置是所有这种子波的包络面。这个结果实质上是“光学平行”面的一个作图法则，所以有时叫做惠更斯作图法。

核心思想：介质中任何一处的波动状态是由介质各处的波动决定的。

惠更斯定理后来又由菲涅尔加以扩充，表述成所谓惠更斯-菲涅尔原理，在衍射理论中极为重要，也被认为是光的波动理论的基本假设。惠更斯-菲涅耳原理可以被理解为惠更斯原理+波的叠加原理，惠更斯－菲涅耳原理能够正确地解释与计算波的传播。基尔霍夫衍射积分式给衍射提供了一个严格的数学基础，这基础是建立于波动方程和格林第二恒等式。从基尔霍夫衍射公式，可以推导出惠更斯－菲涅耳原理，即基尔霍夫衍射积分式为惠更斯菲涅尔原理的数学基础。菲涅耳在惠更斯－菲涅耳原理里提出的近似假定，在这推导过程中，会自然地表现出来。

2、惠更斯作图法

一个波阵面的每个点（面源）可各看做是一个产生球面子波的次级球面波的中心波源，次级波源的波速与频率等于初级波的波速与频率；而且，以后任何时刻波阵面的位置是所有这种次级球面波的包络面。

如下图所示，在绘图中，当我们划分越密集的次级球面波，由各个次级球面波构成的包络面越清晰。

波传播的距离是波速对时间的积分，对于各向同性介质，各次级球波均为标准球形。子波半径随着时间变化，等同于光波行进的距离，形成光波传播过程中，不同时间点次级子波的包络面。

这便是惠更斯作图法的基本要领，在简单的单缝衍射、各向同性不同折射率介质界面折射的案例中，可以为光波的衍射、折射提供解释。

需要注意的是，这里的介质均为各向同性介质，对于各向异性介质中的惠更斯定理，在题设中条件会有所不同，将另行在其他文章讨论。

3、菲涅尔波带作图法（半波带法）

（）（）(1)E→（r→,t）=A→cos（r→⋅k→−ω⋅t+φ）\vec E（\vec r,t）=\vec Acos（\vec r\cdot \vec k-\omega \cdot t+\varphi）\tag{1}

设 SS 为点光源 P0P_{0} 发出的一个球面单色波阵面（就是惠更斯定理中次级波面的包络面）的瞬时位置（即略去时间相位 e−iωte^{-i\omega t} )，其半径为 r0r_{0},点 PP 设为光波扰动待定的一点（光在未来时经过 PP 点，且与半波带分析费马原理不同，PP点位置并不确定）。波阵面 SS 上某点 QQ 的扰动（次级子波）可表示为 Aeikr0r0A\frac{e^{ikr_{0}}}{r_{0}} ，其中 AA 为离点光源单位距离处的振幅。依照惠更斯定理，波阵面 SS 上每个面元都可以看做是一个次级子波的扰动中心，以球面子波的形式传播。这样， QQ 点 dSdS 面元对 PP 点扰动的贡献可以表示为：

(2)dU(P)=K(χ)Aeikr0r0eikssdSdU(P)=K(\chi)\frac{Ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}\frac{e^{iks}}{s}dS\tag{2}

如下图几何关系所示，式中s=QPs=QP ， K(χ)K(\chi) 为倾斜因子（角因子），描述次级子波振幅随方向变化， χ\chi 是 QQ 点法线与 QPQP 方向的夹角（称为衍射角）。采用菲涅尔波带作图法（半波带法），以 PP点为中心，做一组半径为bb 、b+λ2b+\frac{\lambda}{2} 、 b+2λ2b+\frac{2\lambda}{2} 、 b+3λ2b+\frac{3\lambda}{2} …… b+nλ2b+\frac{n\lambda}{2} ……的同心球面，其中 b=CPb=CP ， CC 为 PP0PP_{0} 与波面 SS 交点，这些球面将 SS 分成一组波带 Z1Z_{1} 、 Z2Z_{2} 、 Z3Z_{3}……ZnZ_{n}……。

世界线转移：在文章法海：光学原理回顾：费马原理2.费马原理（Fermat principle）介绍半波带法分析最小光程原理中，我们提到相量（phaser）这一概念：

可以推导出从χ=0\chi=0到χ→π2\chi\rightarrow\frac{\pi}{2}区间（ 必然小于等于χ必然小于等于π2\chi必然小于等于\frac{\pi}{2} ），各半波带相量呈现出一个收敛的交错级数分布：

回到衍射的世界线来，就不难理解为什么菲涅尔会提出假设，在原来传播方向上，即 χ=0\chi=0 时， KK最大，χ\chi 增加时，KK迅速减小，在 QPQP 与波阵面 SS 相切即χ=π2\chi=\frac{\pi}{2}时，K=0K=0。最后，如果 P0P_{0} PP 之间有障碍物，就只有未被挡住的部分初级子波 S′S’ 对 PP 点处的效应有贡献。因此点光源 P0P_{0} 对 PP 的总扰动为：

(3)U(P)=Aeikr0r0∫∫SeikssK(χ)dSU(P)=\frac{Ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}\int_{}^{}\int_{S}^{}\frac{e^{iks}}{s}K(\chi)dS\tag{3}

即菲涅耳衍射积分公式。假定： r0r_{0} 与 ss 都远大于波长，因此对于同一个波带上的点，可以假定 KK值相同，即Z1Z_{1} 、 Z2Z_{2} 、 Z3Z_{3} …… ZnZ_{n}……对应K1K_{1} 、 K2K_{2} 、 K3K_{3} …… KnK_{n}……。通过三角函数余弦定理，可以获得光线路径关系式：

(4)s2=r02+(r0+b)2−2r0(r0+b)cosθs^{2}=r_{0}^{2}+(r_{0}+b)^{2}-2r_{0}(r_{0}+b)cos\theta\tag{4}

因而

s2ds=(r02+(r0+b)2−2r0(r0+b)cosθ)dθ2sds=−(−2r0(r0+b)sinθ)dθ(5)sds=r0(r0+b)sinθdθ\begin{align} s^{2}ds&=(r_{0}^{2}+(r_{0}+b)^{2}-2r_{0}(r_{0}+b)cos\theta) d\theta\\ 2sds&=-(-2r_{0}(r_{0}+b)sin\theta) d\theta\\ sds&=r_{0}(r_{0}+b)sin\theta d\theta\tag{5} \end{align}

所以

(6)dS=r02sinθdθdϕ=r0r0+bsdsdϕdS=r_{0}^{2}sin\theta d\theta d\phi=\frac{r_{0}}{r_{0}+b}sdsd\phi \tag{6}

其中ϕ\phi 是方位角。因此第n个半波带对 U(P)U(P) 的贡献为：

Un=2πAeikr0r0+bKn∫b+(n−1)λ2b+nλ2eiksds(7)=−2πikKnAeik(r0+b)r0+beiknλ2(1−e−ikλ2)\begin{align} U_{n}&=2\pi \frac{Ae^{ikr_{0}}}{r_{0}+b}K_{n}\int_{b+(n-1)\frac{\lambda}{2}}^{b+n\frac{\lambda}{2}}e^{iks}ds\\ &=-\frac{2\pi i}{k}K_{n}\frac{Ae^{ik(r_{0}+b)}}{r_{0}+b}e^{ikn\frac{\lambda}{2}}(1-e^{-ik\frac{\lambda}{2}})\tag{7} \end{align}\\

因为在相位中 kλ=2πk\lambda=2\pi ，最后两个因子遂化为：

(8)eiknλ2(1−e−ikλ2)=einπ(1−e−iπ)=(−1)n2e^{ikn\frac{\lambda}{2}}(1-e^{-ik\frac{\lambda}{2}})=e^{in\pi}(1-e^{-i\pi})=(-1)^{n}2\tag{8}

所以：

(9)Un=2iλ(−1)n+1KnAeik(r0+b)r0+b\begin{align} U_{n}&=2i\lambda(-1)^{n+1}K_{n}\frac{Ae^{ik(r_{0}+b)}}{r_{0}+b}\tag{9} \end{align}\\

即可获得，各波带的贡献为正负交错且收敛的级数，对所有贡献求和，就得到 PP 点的总扰动：

(10)U(P)=2iλAeik(r0+b)r0+b∑n=1m(−1)n+1Kn\begin{align} U(P)&=2i\lambda\frac{Ae^{ik(r_{0}+b)}}{r_{0}+b}\sum_{n=1}^{m}{(-1)^{n+1}K_{n}}\tag{10} \end{align}\\

即，前面我们在半波带用相量（phaser）之和分析获得的结论：

(11)∑=∑n=1m(−1)n+1Kn=K1−K2+K3−…+(−1)m+1Km\begin{align} \sum&=\sum_{n=1}^{m}{(-1)^{n+1}K_{n}}=K_{1}-K_{2}+K_{3}-…+(-1)^{m+1}K_{m}\tag{11} \end{align}\\

在用半波带法推导费马原理（光学原理回顾：费马原理）中我们仅对（11）这个级数和做了定性的分析获得各半波带总贡献均由第一个半波带贡献，接下来我们用舒斯特方法对改级数进行定量分析，证明PP 点总扰动等于第一个半波带产生扰动的一半，其他半波带带来的扰动相互抵消的结论。

首先将式（11）改写为以下形式：

(12)∑=K12+(K12−K2+K32)+(K32−K4+K52)+…\sum=\frac{K_{1}}{2}+(\frac{K_{1}}{2}-K_{2}+\frac{K_{3}}{2})+(\frac{K_{3}}{2}-K_{4}+\frac{K_{5}}{2})+…\tag{12}

式（11）也可以写成这样的形式：

(14)∑=K1−K22−(K22−K3+K42)−(K42−K5+K62)−…\sum=K_{1}-\frac{K_{2}}{2}-(\frac{K_{2}}{2}-K_{3}+\frac{K_{4}}{2})-(\frac{K_{4}}{2}-K_{5}+\frac{K_{6}}{2})-…\tag{14}

由于相邻半波带的倾斜因子、、Km、Km−1、Km+1K_{m}、K_{m-1}、K_{m+1} 相近，因此取相邻半波带倾斜因子近似相等，得：

为奇数为偶数(15)Σ={K12+Km2m为奇数K12−Km2m为偶数 \Sigma= \begin{cases} \frac{K_{1}}{2}+\frac{K_{m}}{2} & \text{m为奇数} \\ \frac{K_{1}}{2}-\frac{K_{m}}{2} & \text{m为偶数 } \tag{15} \end{cases}\\

由式（10）与（15），即可获得：

(16)U(P)=iλ(K1±Km)Aeik(r0+b)r0+b\begin{align} U(P)&=i\lambda(K_{1}\pm K_{m})\frac{Ae^{ik(r_{0}+b)}}{r_{0}+b}\tag{16} \end{align}\\

当 mm为奇数时取正号，偶数时取负号。由式（9），（16）可改写为：

(17)U(P)=12[U1(P)+Um(P)]\begin{align} U(P)&=\frac{1}{2}[U_{1}(P)+U_{m}(P)]\tag{17} \end{align}\\

对于 PP 点可见的最后一个半波带（ ZnZ_{n} ）, QPQP 与波阵面相切，即 χ=π2\chi=\frac{\pi}{2} ，此时倾斜因子依照菲涅尔假设 Kn=0K_{n}=0，式（16）可化简为：

(18)U(P)=iλK1Aeik(r0+b)r0+b=12U1(P)\begin{align} U(P)&=i\lambda K_{1}\frac{Ae^{ik(r_{0}+b)}}{r_{0}+b}=\frac{1}{2}U_{1}(P)\tag{18} \end{align}\\

即获得结论：PP 点的总扰动等于第一个半波带所产生扰动的一半。

做一个纯数学取向、无物理意义的假设：iλK1=1i\lambda K_{1}=1 ，即 K1=−iλ=e−iπ2λK_{1}=-\frac{i}{\lambda}=\frac{e^{-i\frac{\pi}{2}}}{\lambda}，则式（18）的表达式与球面波一致，因子e−iπ2e^{-i\frac{\pi}{2}} 可以假定次级波的振动相位与初级波相差 14\frac{1}{4} 周期来说明另一因子 −iλ-\frac{i}{\lambda} 则可以由假定次级波的振动与初级波的振动振幅之比为 ：1：λ1：\lambda 来解释。

因此我们可以获得一个结论：惠更斯-菲涅尔原理，外加以上关于次级波振幅与相位的假定，可导出球面波在空间自由传播的正确表达式。注意：这里假定皆为纯数学取向的假定，证明这些次级波振幅与相位的假定正确，则是基尔霍夫衍射理论的内容。

回归到菲涅尔半波带模型，用一个开有圆孔的平面屏放在 P0P_{0} PP之间挡住某些半波带，看PP 点效应如何。这时必须认为只有未被挡住的半波带子波对 PP 点的扰动存在贡献。分为以下几种情况：

A.各半波带除了第一个半波带的一半以外，全都被屏遮住：

由式（9）各半波带对 PP点扰动贡献表达式，取第一个波带即n=1n=1 并乘以 12\frac{1}{2} ，引用设定iλK1=1i\lambda K_{1}=1，得到：

(19)U(P)=iλK1Aeik(r0+b)r0+b=Aeik(r0+b)r0+b\begin{align} U(P)&=i\lambda K_{1}\frac{Ae^{ik(r_{0}+b)}}{r_{0}+b}=\frac{Ae^{ik(r_{0}+b)}}{r_{0}+b}\tag{19} \end{align}\\

因此此时 PP 点的扰动和没有屏时一样。

B.留下第一个半波带而遮住其他半波带：

由式（9）各半波带对 PP 点扰动贡献表达式，取第一个波带即 n=1n=1 并乘以 12\frac{1}{2} ，引用设定iλK1=1i\lambda K_{1}=1，得到：

(20)U(P)=2iλK1Aeik(r0+b)r0+b=2Aeik(r0+b)r0+b\begin{align} U(P)&=2i\lambda K_{1}\frac{Ae^{ik(r_{0}+b)}}{r_{0}+b}=2\frac{Ae^{ik(r_{0}+b)}}{r_{0}+b}\tag{20} \end{align}\\

因此此时 PP 点的扰动的强度（能量强度） I(P)=|U(P)|2I(P)=\left| U(P) \right|^{2} 比没有屏时大三倍（即 ×4\times 4 ）。

C.当圆孔进一步增大时：

因为引入式（10）中符号为负的半波带项，强度I(P) 将下降。此外由于 K_{1} 与 K_{2} 相邻因此近似相等，因而当圆孔近似等于前两个半波带时， P 点强度将几乎为0。当圆孔大小逐渐增大时， P点强度呈周期性的亮暗变化。

D.当固定圆孔大小与 P_{0} 电源的位置，而令观察点 P 的位置沿轴线移动时：

因为随着 P 点向屏逐渐靠近，等效于圆孔所容纳的半波带数目不断增多，同样也可以看到P 点强度呈周期性的亮暗变化的现象。

E.当圆孔的半径比屏到观察点P的距离小得多时：

圆孔半径a内所容纳的半波带总数可以表示为：

b+\frac{N\lambda}{2}=\sqrt{b^{2}+a^{2}}\tag{21}

当 a\ll b 时， \sqrt{b^{2}+a^{2}}\approx b+(\frac{b}{2})(\frac{a}{b})^{2} ，带入（21）式，得：

N=\frac{a^{2}}{b\lambda}\tag{22}

参数 N代表圆孔内的半波带数，称为系统的菲涅耳数。

F.当用一个小圆盘垂直于 P_{0} P 放置并挡掉第一个半波带时：

由式（9）各半波带对 P 点扰动贡献表达式，减去第一个波带，得到：

\begin{align} U(P)&=2i\lambda\frac{Ae^{ik(r_{0}+b)}}{r_{0}+b}[-K_{2}+ K_{3}- K_{4}+…]\tag{23} \end{align}\\

此时括号中的级数和为-\frac{ K_{2}}{2} 。因为 K_{2} 假定与相邻的 K_{1}=-\frac{i}{\lambda} 近似，因此结论为小圆盘几何阴影内有光，且 P 点的强度和没有小圆盘时一样。

这便是著名的泊松亮斑，所有的这些推论结果都和实验结果一致。当时菲涅尔理论的一个预见，给同时代的人留下强烈印象，并称为决定性因素使得光的粒子论与波动论的长期论战中，波动论暂时获胜。

G.当将偶数个半波带或奇数个半波带挡住时：

由式（9）各半波带对 P 点扰动贡献表达式，减去第一个波带，得到：

\begin{align} U(P)&=2i\lambda\frac{Ae^{ik(r_{0}+b)}}{r_{0}+b}[-K_{2}- K_{4}-K_{6}-…]\tag{24} \end{align}\\

以及

\begin{align} U(P)&=2i\lambda\frac{Ae^{ik(r_{0}+b)}}{r_{0}+b}[K_{1}+K_{3}+K_{5}+…]\tag{25} \end{align}\\

此时等效于透镜的聚焦功能，即菲涅尔波带片。

与透镜相近，菲涅尔波带片有着类似于成像公式的聚焦规律。假设第 m 阶半波带半径为 \rho_{m} ，则：

假定 \rho_{m}\ll R_{0} ，则有以下几何关系：

R=\sqrt{R_{0}^{2}+\rho_{m}^{2}}\approx R_{0}(1+\frac{1}{2}\frac{\rho_{m}^{2}}{R_{0}^{2}})\tag{26}

r=\sqrt{r_{0}^{2}+\rho_{m}^{2}}\approx r_{0}(1+\frac{1}{2}\frac{\rho_{m}^{2}}{r_{0}^{2}})\tag{27}

(R+r)-(R_{0}+r_{0})=\frac{\lambda m}{2}\tag{28}

将（26）、（27）代入（28），得：

\begin{align} \rho_{m}^{2}(\frac{1}{R_{0}}+\frac{1}{r_{0}})&=m\lambda\\ \rho_{m}^{2}&=\frac{m\lambda R_{0}r_{0}}{ R_{0}+r_{0}}\tag{29} \end{align}\\

由于 m=1 时， \begin{align} \rho_{1}^{2}&=\frac{\lambda R_{0}r_{0}}{ R_{0}+r_{0}} \end{align} ，因此 \begin{align} \rho_{m}^{2}&=m\rho_{1}^{2} \end{align} ， \begin{align} \rho_{m}&=\sqrt{m}\rho_{1} \end{align} 。

由式（29）可以得出波带片的光源、聚焦点间的关系式：

\begin{align} \rho_{m}^{2}(\frac{1}{R_{0}}+\frac{1}{r_{0}})&=m\lambda\\ \frac{1}{R_{0}}+\frac{1}{r_{0}}&=\frac{m\lambda}{\rho_{m}^{2}}\\ \frac{1}{R_{0}}+\frac{1}{r_{0}}&=\frac{\lambda}{\rho_{1}^{2}}\\\tag{30} \end{align}\\

式（30）类似于成像公式\frac{1}{s_{o}}+\frac{1}{s_{i}}=\frac{1}{f} ，因此对于波带片也可以获得它的等效焦距：

f=\frac{\rho_{1}^{2}}{\lambda}=\frac{R_{0}r_{0}}{R_{0}+r_{0}}\tag{31}

4、单缝衍射的三种情形

前一小节将菲涅尔-惠更斯原理的数学表达过程初步介绍到菲涅尔半波带法及其假设，接下来对菲涅尔-基尔霍夫积分式所表示的单缝衍射现象中的三类现象进行分类：

A.狭缝小于波长

此时次级子波的位相差小于 \pi ，无法完全抵消，狭缝处的次级子波相当于一个点光源。

B.狭缝大于波长

此时次级子波的位相差可以大于\pi ，因此可能会产生破坏性干涉导致某些位置光强产生明暗交替，产生衍射条纹（某种意义上，衍射条纹也是一种干涉条纹）。

C.狭缝远大于波长

几何光学的现象会掩盖衍射现象，衍射现象依然存在于边界的影响下，然而相对于费马原理为主的几何光学现象影响非常小。

5、菲涅尔-惠更斯原理与菲涅尔基尔霍夫积分式

菲涅尔-惠更斯理论的基本概念是，P点的光扰动是由此点和光源之间某个面上所发出的各个次级子波叠加而成的。基尔霍夫给了这个概念奠定了比较完善的数学基础。基尔霍夫指出菲涅尔-惠更斯原理可以看成是某种积分定理的近似形式，这个积分定理将齐次波动方程在场中任意一点P 的解，用点 P 周围任一闭合面上所有点的解及其一阶微商来表示。

（在清华大学蒋硕老师的光学课程讲义里，基尔霍夫积分式只作为结论直接引用。虽然这是一个掺杂者很多近似假定的、非常数学化的推导过程，与电磁波为主的几何光学领域有点跑题，但是为了完整了解衍射的数学过程与物理现象关系，下一节我仍然会将菲涅尔-基尔霍夫积分式的推导过程写出。直接跳过下一节到第三节，把基尔霍夫积分式作为结论引用也不影响阅读。）

二、菲涅尔-基尔霍夫衍射

1.基尔霍夫积分定理

首先考虑一个严格单色的标量波：

V(x,y,z,t)=U(x,y,z)e^{-i\omega t}\tag{32}

以及在真空中，与空间有关的部分 U ，满足与时间无关的波动方程，即亥姆霍兹（Helmholtz）方程：

(\nabla^{2}+k^{2})U=0\tag{33}

式中 k=\frac{\omega}{c} 。

设 \upsilon 是闭合曲面 S 所包围的体积， P 是 S 内任一点，假定 U 在 S 內和 S上具有连续的一阶和二阶偏微商（微商不是微分，微商是\frac{dy}{dx} ,微分是 dy ）。

如果 U 是任意其他函数，和 U 满足同样的连续条件，则由格林定理，有：

\int\int\int_{\upsilon}^{}(U\nabla^{2}U-U\nabla^{2}U)d\upsilon=-\int_{}^{}\int_{S}^{}(U\frac{\partial U}{\partial n}-U\frac{\partial U}{\partial n})dS\tag{34}

式中 \frac{\partial}{\partial n} 表示沿 S 面内向法线的微商。若U也满足是与时间无关的波动方程，即：

(\nabla^{2}+k^{2})U‘’=0\tag{35}

则由（33）、（35）推导出（34）式左边被积函数在 \upsilon 的每一点都为0，因而：

0=\int_{}^{}\int_{S}^{}(U\frac{\partial U}{\partial n}-U\frac{\partial U}{\partial n})dS\tag{36}

设 U(x,y,z)=\frac{e^{iks}}{s} ,其中 s 代表 P点到（x,y,z）点的距离，该函数在s=0 有一个奇异点。因为 U 已假定是连续且可导的，所以P 点必须从积分中去除。因此围绕P 点做一个半径为 \varepsilon 的小球，而对面 S 和小球面 S 之间的整个体积取积分：

由（36）式，得：

\int_{}^{}\int_{S}^{}(U\frac{\partial}{\partial n}（\frac{e^{iks}}{s}）-（\frac{e^{iks}}{s}）\frac{\partial U}{\partial n})dS+\int_{}^{}\int_{S}^{}(U\frac{\partial}{\partial n}（\frac{e^{iks}}{s}）-（\frac{e^{iks}}{s}）\frac{\partial U}{\partial n})dS=0\tag{37}

\begin{align} \int_{}^{}\int_{S}^{}(U\frac{\partial}{\partial n}（\frac{e^{iks}}{s}）-（\frac{e^{iks}}{s}）\frac{\partial U}{\partial n})dS&=-\int_{}^{}\int_{S}^{}(U\frac{e^{iks}}{s}（ik-\frac{1}{s}）-（\frac{e^{iks}}{s}）\frac{\partial U}{\partial n})dS\\ &=-\int_{}^{}\int_{\Omega}^{}(U\frac{e^{ik\varepsilon}}{\varepsilon}（ik-\frac{1}{\varepsilon}）-（\frac{e^{iks}}{\varepsilon}）\frac{\partial U}{\partial s})\varepsilon ^2d\Omega\ \tag{38} \end{align}\\

经过换元后，式中d\Omega 代表元立体角。因为对 S 的积分与 \varepsilon 无关，\varepsilon视为常数，因此右边积分以\varepsilon\rightarrow0代入，得：

\begin{align} \int_{}^{}\int_{S}^{}(U\frac{\partial}{\partial n}（\frac{e^{iks}}{s}）-（\frac{e^{iks}}{s}）\frac{\partial U}{\partial n})dS &=U(P)4\pi\\ U(P)&=\frac{1}{4\pi}\int_{}^{}\int_{S}^{}(U\frac{\partial}{\partial n}（\frac{e^{iks}}{s}）-（\frac{e^{iks}}{s}）\frac{\partial U}{\partial n})dS \tag{39} \end{align}\\

即亥姆赫兹-基尔霍夫积分定理的一种形式。

推广至广义的非单色波：

设 V(x,y,z,t) 是波动方程

\nabla^2V=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2V}{\partial t^2}\tag{40}

的一个解，并假定 V 可表成傅里叶积分的形式：

V(x,y,z,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}U_{\omega}(x,y,z)e^{-i\omega t}d\omega\tag{41}

通过反傅里叶公式：

U_{\omega}(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}V(x,y,z,t)e^{i\omega t}d\omega\tag{42}

因为 V(x,y,z,t) 已假定满足波动方程（39），因此 U_{\omega}(x,y,z)将满足与时间无关的波动方程亥姆霍兹（Helmholtz）方程(\nabla^{2}+k^{2})U=0 。此外，如果 V 在闭合面 S 内和S 上服从适当的正则条件，就可以分别对各个傅里叶成分 U_{\omega}(x,y,z)=U_{\omega}(P) 应用基尔霍夫公式：

U_{\omega}(P)=\frac{1}{4\pi}\int_{}^{}\int_{S}^{}(U_{\omega}\frac{\partial}{\partial n}（\frac{e^{iks}}{s}）-（\frac{e^{iks}}{s}）\frac{\partial U_{\omega}}{\partial n})dS \tag{43}

令 k=\frac{\omega}{c} ，改变积分次序，则：

\begin{align} V(P,t)&=\frac{1}{4\pi}\int_{}^{}\int_{S}^{}dS\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}{(U_{\omega}\frac{\partial}{\partial n}(\frac{e^{-i\omega(t-\frac{s}{c})}}{s})-(\frac{e^{-i\omega(t-\frac{s}{c})}}{s})\frac{\partial U_{\omega}}{\partial n})}d\omega\\ &=\frac{1}{4\pi}\int_{}^{}\int_{S}^{}dS\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}{(U_{\omega}(\frac{\partial}{\partial n}(\frac{1}{s})+\frac{i\omega}{sc}\frac{\partial s}{\partial n})})e^{-i\omega(t-\frac{s}{c})}-\frac{e^{-i\omega(t-\frac{s}{c})}}{s}\frac{\partial U_{\omega}}{\partial n})d\omega\\\tag{44} \end{align}

将（41）式的积分带入（44）消去内层积分，即获得基尔霍夫定理的普遍形式：

V(P,t)=\frac{1}{4\pi}\int_{}^{}\int_{S}^{}\left\{ [V]\frac{\partial}{\partial n}(\frac{1}{s})+\frac{1}{sc}\frac{\partial s}{\partial n}[\frac{\partial V}{\partial t}]-\frac{1}{s}[\frac{\partial V}{\partial n}] \right\}dS\tag{45}

其中方括号代表“推迟值”，即 t-\frac{s}{c} 时刻的函数值。在时间t，位于点 P 的波扰动 V(P,t) ，可以以位于闭合曲面 S 的所有波扰在其推迟时间 \frac{s}{c} 的数值 [V] 与其法向导数 [\frac{\partial V}{\partial n}] 来表达。

2.基尔霍夫衍射理论

基尔霍夫衍射理论将菲涅尔的假设以及菲涅尔-惠更斯原理近似简化，在菲涅尔的数学表达基础之上，进一步给出菲涅尔理论中尚未确定的倾斜因子。

首先先明确基尔霍夫边界条件：

考虑从点源 P_{0} 发出的单色波，它传播通过不透明平面屏上的一个开孔，并通前设 P 是光扰动待定的一点。假定开孔的线度比波长大，但远小于 P_{0} 和 P 到屏的距离。

为求得 P 点的扰动，围绕P点作一个闭合曲面S，对它取基尔霍夫积分。闭合面 S 由三个部分构成：

将以上三个 S曲面边界带入式（39）亥姆赫兹-基尔霍夫积分：

\begin{align} U(P)&=\frac{1}{4\pi}[\int_{}^{}\int_{\mathcal{A}}^{} +\int_{}^{}\int_{\mathcal{B}}^{} +\int_{}^{}\int_{\mathcal{C}}^{}](U\frac{\partial}{\partial n}（\frac{e^{iks}}{s}）-（\frac{e^{iks}}{s}）\frac{\partial U}{\partial n})dS \tag{46} \end{align}\\

同前， s 是 P 点到面元 dS 的距离， \frac{\partial }{\partial n} 表示沿积分面内向法线取微商。

基尔霍夫边界条件便是针对无法准确知道 U 和\frac{\partial U}{\partial n}的 \mathcal{ABC}三部分曲面进行边界条件设定：

其中，U^{(i)}=\frac{Ae^{ikr}}{r}， \frac{\partial U^{(i)}}{\partial n}= \frac{Ae^{ikr}}{r}[ik-\frac{1}{r}]cos(n,r)

结合以上三个条件，并近似 \frac{1}{r}\ll k 、 \frac{1}{s}\ll k 而略去法线微商中的\frac{1}{r} 、 \frac{1}{s}，得到：

\begin{align}U(P)&=-\frac{iA}{2 \lambda}\int_{}^{}\int_{\mathcal{A}}^{}\frac{e^{ik(r+s)}}{rs}[cos(n,r)-cos(n,s)]dS \tag{47} \end{align}\\

即菲涅尔-基尔霍夫衍射公式。

其中 [cos(n,r)-cos(n,s)] 项中，通常 n 、 r 共线遂 cos(n,r)=1 ，令 \chi=\pi-\angle(n,s) ，则：

\begin{align}U(P)&=-\frac{iA}{2 \lambda}\frac{e^{ikr_{0}}}{r_{0}}\int_{}^{}\int_{W}^{}\frac{e^{iks}}{s}(1+cos\chi)dS \tag{48} \end{align}\\

式中 r_{0} 是波阵面 W 的半径。其中可以获得菲涅尔理论的倾斜因子：

K(\chi)=\frac{1}{2}(1+cos\chi)\tag{49}

然而，我们可以发现菲涅尔的假定 K(\frac{\pi}{2})=0 并不确实，这里对倾斜因子做出比较严格的修正与定义。

由于无论同等强度的点源是从 P_{0} 传播到 P 还是 P 传播到 P_{0}，其在终点的传播效果相同，因此这个过程是可逆的，亦称亥姆霍兹互易定理（可逆定理）。

三、菲涅尔近似/菲涅尔衍射

在第一大节第三小节介绍菲涅尔半波带法中，案例E给出菲涅耳数的定义：

的距离小得多时：

b+\frac{N\lambda}{2}=\sqrt{b^{2}+a^{2}}\tag{21}

，带入（21）式，得：

菲涅耳数即为定义、辨别光波传播的区域是近场还是远场的参数之一。

当菲涅耳数 N\geq1 时，近似认为衍射波为近场衍射，此时利用菲涅尔近似来分析近场衍射的物理现象；

当菲涅耳数 N\ll1时，近似认为衍射波为远场衍射，此时利用夫琅禾费近似来分析远场衍射物理现象。

具体讨论菲涅耳近似，设定： \rho=\sqrt{(x-x)^2+(y-y)^2} ， (x,y,z) 与 (x,y,z)两点之间的距离 R 可以以泰勒级数表示为：

\begin{align} R&=\sqrt{(x-x)^2+(y-y)^2+z^2}=\sqrt{\rho^2+z^2}\\ &=z\sqrt{1+\frac{\rho^2}{z^2}}\\ &=z[1+\frac{\rho^2}{2z^2}-\frac{1}{8}(\frac{\rho^2}{z^2})^2+…]\\ &=z+\frac{\rho^2}{2z}-\frac{1}{8}\frac{\rho^4}{z^3}+…\tag{50} \end{align}

假若保留所有项目，则这级数式为精确解。将这 R的级数式代入被积函数的相位。菲涅耳近似的要点是在假定级数式的第三个项目非常微小，可以被忽略。为了达到这目的，第三个项目必须超小于相位的周期2\pi ：\frac{1}{8}\frac{k\rho^4}{z^3}\ll 2\pi ，改换以波长 \lambda =\frac{2\pi}{k} 表达为： \frac{\rho^4}{8z^3\lambda}\ll 1 。将 \rho 的表达式带入：

\frac{[(x-x)^2+(y-y)^2]^2}{8z^3\lambda}\ll 1\tag{51}

假若对于所有(x,y,z) 与 (x,y,z)两点的可能值，式（51）条件成立，则 R 的泰勒级数式的第三个项和更高阶项都可以忽略。 R 可近似为

\begin{align} R&\approx z+\frac{\rho^2}{2z}=z+\frac{(x-x)^2+(y-y)^2}{2z}\tag{50} \end{align}

此时的 R 即为菲涅尔近似，代回菲涅尔-基尔霍夫公式，假设孔径尺寸远小于传播路径长度，则倾斜因子 K(\chi)\approx 1 ， x,y\ll z ，式（48）积分内的分母 r\approx z （但是 e^{ikr} 项中 r 不能近似为 z ，误差较大）：

\begin{align} U(x,y,z)&=-\frac{ie^{ikz}}{ \lambda z}\int_{}^{}\int_{W}^{}{U(x,y,0)e^{ik(\frac{[(x-x)^2+(y-y)^2}{2z})}}dS \tag{51} \end{align}\\

即，菲涅耳衍射积分式，适用于菲涅尔区的衍射现象。

四、夫琅禾费近似/夫琅禾费衍射

对于菲涅耳数 N\ll1 ，近似条件有所不同。更远的传播距离使得终点 U(x,y) 扩展比起点U(x,y)更大，因此在夫琅禾费近似中：

\begin{align} R&\approx z+\frac{x^2+y^2-2xx-2yy+x^2+y^2}{2z}\tag{52} \end{align}

由于 z在夫琅禾费近似中远大于于x,y ，因此分子中 x^2+y^2 这一项省略：

\begin{align} R&\approx z+\frac{x^2+y^2-2xx-2yy}{2z}\tag{53} \end{align}

因此可以获得夫琅禾费衍射近似式：

\begin{align} U(x,y)&=\frac{e^{-ikz}e^{-\frac{ik}{2z}(x^2+y^2)}}{ i\lambda z}\int_{}^{}\int_{W}^{}{U(x,y)e^{-ik(\frac{xx+yy}{z})}}dS \tag{54} \end{align}\\

总结：不同传播距离，依据不同近似条件，可大致分为菲涅尔区与夫琅禾费区：

五、结语

各种近似之下，仅露冰山一角。

从光的干涉原理到费马原理再到本篇文章，我们不难发现，在考虑光的传播以及光的干涉现象的时候，我们总是会将时间相位与空间相位分开考虑，即考虑时间相位变化时默认空间相位不变、考虑空间相位变化时默认时间相位不变。而在描述光波/电磁波的传播时，通常会有四个自变量：空间坐标x、y、z以及时间t。这便是我所认为工程领域触及的物理边界了，我们对光的感测方式（CCD/CMOS、光谱仪等），只能获得某一时刻下光的讯息，光在时间t变量下我们只能默认其做线性变化（即时间轴单向向前）。是的，光的传播很容易引导我们思考时间与空间的变化关系，而那则是极为复杂晦涩的物理领域，包括相对论、弦理论等很多理论物理研究都对这些抽象、难以直观感知的物理机制进行解释、推论。而那，目前而言完整的超出我的认知的范围，即便去看，去学，我也不认为我暂时能懂或知道什么。

这一块物理应用上的模糊地带在知乎上可以说是民科聚集地，拿着相对论、场论、弦论各种说他们懂了或者搬弄自己想出来的弯弯绕说这些理论错了。本专栏下的文章也是写了几篇，我也不觉得我修了这么多课、做了这么多笔记、做了一些实验，就能够自称对物理科学懂了会了。归根结底这是我用自然科学现象解决实际工程问题的过程，能与诸位分享这个过程，不甚荣幸。若有指教，幸甚至哉。

同时不得不吐槽很多跨专业跨领域发展的高教教师，跨着跨着心就飘了，忘记自己从来没有扎实的学过跨过去的领域的基础知识，仅凭自己学生每周报告报过、自己恰好没打瞌睡听到了，就以为自己会了……换句话讲，有几个教授，还会放下期刊回去看看课本？

讲一个真实案例：台湾某高校资讯工程的教授，实验室有个博士生会设计IC，这位老师就膨胀了，嘚嘚瑟瑟的跑到机械系跨领域的课程上课教电子学内容，台上嘴里讲着OP放大器白板上画着MOS……底下机械系的学生都学过电子学的，当时空气都凝固了…….

这种事情数不胜数，几乎没什么东西能够泼醒这些膨胀又上头的学阀们。在学生角度只能从自身解决问题，至少涉及跨领域的部分，老老实实去从基础学起，不要妄想看两篇期刊就会了。这也是我为什么花相当多的精力在基础光学上，至少我自认为很清楚自己的定位，我需要从基础学起，不想变成那种跳梁小丑。

保持谦虚，保持敬畏，保持好奇，保持研究。

愿大家变得更强！

参考：

光机电系统设计与制作，第二版，黄君伟著，五南出版社

光波工程，国分泰雄著，科学出版社

光学原理——光的传播、干涉和衍射的电磁理论，马科斯·波恩 埃米尔·沃尔夫 著 杨霞荪 译，电子工业出版社

http://keejko.blogspot.com/2018/02/huygens-principle1-draw-geogebra.html

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%83%A0%E6%9B%B4%E6%96%AF%EF%BC%8D%E8%8F%B2%E6%B6%85%E8%80%B3%E5%8E%9F%E7%90%86

MV Klein & TE Furtak, Optics,1986, John Wiley & Sons, New York