20世纪末是经典之作理论物理学的就此结束，现代理论物理学的开始，提及现代理论物理学，大家可能想到最多的是广义相对论、量子场论这对现代理论物理学的五号，或者是波粒二形声字、薛丁格的猫、玻尔测不许恒等式等，可是要提出诉讼现代理论物理学，是当然不能少了这个了不起的恒等式—克尔恒等式，它是20世纪末、21世纪末理论物理学的勒维冈县，助推了理论物理学 100 年的产业发展，是现代理论物理学的终极目标。
它的明确提出者莎拉·克尔几乎少有人知，她堪称迄今为止最了不起的女微积分家，是现代微积分Kendujhar、线性拓扑Kendujhar，是能和柯西、笛卡儿同列的微积分天才少年，20世纪末微积分界有两个人是无法忽视的，她们对20世纪末以来的微积分起著了助推性的促进作用，一个是“微积分之王”外尔，外尔最了不起的成是培植了一批微积分家，能说扛起了 20 世纪末微积分的中流砥柱，他明确提出的“外尔”方案迄今仍对微积分研究的方向起著助推促进作用。
而另外一位是克尔，克尔抹杀了环、域和拓扑的理论，使抽象代微积分真正正式成为两门微积分组成部分，她容许研究者们单方面地使用她的工作丰硕成果，也因此被人们称呼为“现代微积分该文的合译者”，她缔造的克尔学说迄今仍在负面影响微积分界，被米哈伊尔·安东诺夫、菲利普·玻尔、让·迪厄多内、库尔特·外尔和诺赖特·维纳比喻为微积分史上最重要的女人。
不过克尔生前是意外的，她的母亲虽然是知名微积分家，知名的“恒等式之王” 高丹教授是母亲的挚友，在她们的负面影响下，克尔在微积分上具有很大的天分。
不过当时理工学院并不容许男生注册登记，克尔只能作为段小宇，后来理工学院容许男生读书之后，克尔考进了教授，正式成为首位女微积分教授，但是她还是没有摆脱歧视，她虽然凭借自己强大的科学创举正式成为了讲师，却没有薪资。她只能从学生的学费中支取一点点薪金，来维持极其简朴的生活。
左四外尔
而后来希特勒上台，作为犹太人的克尔被剥夺了教学的资格，她被迫乘船前往美国，却又死于外科手术。去世的时候才 53 岁。
如果克尔没有生活在那样的环境，她的创举会更大，这是科学史上的遗憾。
克尔一生最幸运的事情是遇见了外尔，这两位20世纪末最了不起的微积分家并没有如牛顿莱布尼茨一样针锋相对交恶数十年，负面影响微积分界数十年的产业发展。
外尔与克尔亦师亦友。而在聆听外尔的讲课之后，克尔受益匪浅，克尔一生深受外尔的负面影响，而外尔也十分欣赏她的才华。
也是因为有外尔的帮助，她才能够进行教学工作，当时外尔想为克尔在哥廷根理工学院谋求一份工作，这样，克尔也有一个安定的环境进行科学研究。
不过当时的哥廷根理工学院没有专门的微积分系。微积分、语言学、历史学都划在哲学系里，聘请讲授必须经过哲学教授会议批准。外尔的努力遭到教授会议中语言学家和历史学家的极力反对，她们出于对妇女的传统偏见，连聘为“私人讲师”这样的请求也断然拒绝。
外尔屡次据理力争都没有结果，他气愤极了，在一次教授会上愤愤地说：“我简直无法想象候选人的性别竟成了反对她升任讲师的理由。先生们，别忘了这里是理工学院而不是洗澡堂！”
虽然最终没有正式成为讲师，但是克尔被容许以外尔的名义授课，1916年，克尔应邀来到哥廷根理工学院，以外尔的名义讲授不变式论课程。
1918年，她在外尔等人的思想负面影响下，发表了两篇重要论文。其中一篇，是我们今天要讲的克尔恒等式。
我们知道，理论物理学中有两个知名的概念；守恒定律和对称性。1748年7月16日，罗蒙诺索夫在写给了不起的微积分家莱昂哈德·笛卡儿的信中做出了首次阐述了守恒定律。
例如，他写道“自然界所发生的一切变化，都是这样的：一种东西失去多少，另一种东西就获得多少。例如，如果某个物体增加了若干物质，另一物体必然有若干物质消失；我睡了多久，那我就必然少清醒多久，如此等等。”
守恒定律堪称科学史上最了不起的发现之一，也是自然界最普遍、最重要的基本定律之一。从物理、化学到地质、生物，大到宇宙天体。小到原子核内部，只要有能量转化，就一定服从能量守恒的规律。
从日常生活到科学研究、工程技术，这一规律都发挥着重要的促进作用。人类对各种能量，如煤、石油等燃料以及水能、风能、核能等的利用，都是通过能量转化来实现的。能量守恒定律是人们认识自然和利用自然的有力武器。
人们对于理论物理学中对称性的研究其实很早，对称性是现代理论物理学中的一个核心概念，系统从一个状态变换到另一个状态，如果这两个状态等价，则说系统对这一变换是对称的。或者说给系统一个“操作”，如果系统从一个状态变到另一个等价的状态，则说系统对这一操作是对称的。
当然这是现代理论物理学的解释了，理论物理学中最简单的对称性例子是牛顿运动方程的伽利略变换不变性和麦克斯韦方程的洛伦兹变换不变性和相位不变性。
德国微积分家外尔是把对称性运用到理论物理学中并意识到规范对称重要性的第一人。由此也为后来的规范场论奠定了基础。外尔在自己的专著《对称》中对对称性有一个简单明了的阐述：如果你对一个物体进行某些操作，在这些操作完成之后，它看起来和之前是一样的，那么这个物体是对称的。例如，球体是完全对称的：无论你朝哪个方向转动球体，它看起来都是一样的。同样地，对称性也普遍存在于理论物理学定律中：物理方程在时间或空间的不同位置不会改变。
而系统规范地明确提出对称性这一概念的还是 1918 年克尔明确提出的诺特恒等式，克尔恒等式可表述为：对于力学体系的每一个连续的对称变换，都有一个守恒量与之对应。对称变换是力学体系在某种变换下不变。
简单来说如果运动规律具有一种对称性，必相应地存在一条守恒定律。克尔恒等式联系了物理学中的两个重要概念：对称性和守恒。
由克尔恒等式，能量守恒来自于时间的平移对称性。比如火箭发射会将燃料中的化学能转化为动能和势能，由于时间的对称性，因此总能量保持不变，也是无论你今天发射火箭还是明天发射火箭，你化学能转化为动能和势能不可能会随着时间而改变的。再比如我们把水提升到蓄水池中,所需要做的功是不会随着时间改变的，不可能说今天重力就变弱了，把水提升到蓄水池中,所需要做的功就会变少。
同样地，动量守恒源自于空间中的平移对称性。例如，在牛顿摆中，当一个球击中另一个时，另一端的球会向外飞，保持动量守恒。这是为什么？因为空间的对称性。打一个比方，我在两个不同的地方举 100 KG 的石头，举不举得起不会因为空间的变换而改变，这是空间的对称对称性，而也不会因为空间的平移受到的力会改变，动量是守恒的。
而角动量守恒则是从旋转对称性（即物理规律在空间旋转时保持不变）中出现。而当一位溜冰者把她的手臂收起时，她的旋转速度会加快。这是因为总的角动量必须保持不变，而这要归功于旋转对称性。
所以在经典之作力学体系下，克尔恒等式中能量守恒对应时间平移不变性，动量守恒对应空间平移不变性，角动量守恒对应于旋转不变性。
也是说物理规律在时间、空间和旋转上都是对称的。根据克尔恒等式，这些对称性表明能量、动量和角动量是守恒的。
后来，克尔恒等式深入到量子场论，也是微观领域，一个基本粒子与它的“镜像”粒子的所有性质也完全相同，除自旋方向外它们的运动规律也完全一致，具有完全相同的性质，则被称为宇称守恒。“宇称”，粗略的说，可理解为“左右对称”或“左右交换”。
宇称守恒都符合粒子的三个基本的对称方式：
1、一个是粒子和反粒子互相对称，即对于粒子和反粒子，定律是相同的，这被称为电荷（C）对称。
2、一个是空间反射对称，即同一种粒子之间互为镜像，它们的运动规律是相同的，这叫宇称（P）。
3、一个是时间反演对称，即如果我们颠倒粒子的运动方向，粒子的运动是相同的，这被称为时间（T）对称。
宇宙中有四大力，弱力、引力、电磁力都符合宇称守恒，只有弱力不符合，也正是这一点点的不对称，才诞生了这缤纷多彩的宇宙，而杨振宁与李政道也因为发现了弱力不守恒而获得了诺贝尔奖。
克尔恒等式能说揭示了自然界最深层次的奥秘，并且它还正式成为了理论物理的中心结果之一，克尔恒等式和量子场论深刻相关，因为它仅用经典之作力学的基本原理就能认出和玻尔测不许基本原理相关的物理量（譬如位置和动量）。能说克尔恒等式是罕见适用于经典之作力学与量子场论的了不起恒等式之一，因为我们知道经典之作力学和量子场论的研究领域并不相同。
到了20世纪末下半叶,克尔恒等式正式成为了粒子理论物理学标准模型的基础。标准模型描述了微观尺度的世界,并预言了希格斯玻色子的存在。因为对于宇宙大一统理论的研究，以及标准模型的构建，离不开规范场论，规范场论是基于对称变换能局部也能全局地施行这一思想的一类物理理论。
在发现守恒定律的任何地方，理论物理学家都在寻找对称性，反之亦然。比如人们就在电磁力中成功发现了电荷守恒，而对于克尔恒等式的研究、深入、扩展，也让粒子理论物理学的标准模型得到不断的产业发展。
克尔恒等式是产业发展量子引力的潜在理论的必要工具。量子引力，又称量子重力，是描述对重力场进行量子化的理论；主要尝试结合广义相对论与量子场论，为当前的理论物理学尚未解决的问题。它想要把广义相对论量子化,进而统一包括引力在内的四种基本力。克尔恒等式则帮助科学家理解在这样一个统一的理论中能出现怎样的对称性。
能说，克尔恒等式涵盖的对称性与守恒性两大概念，是已知理论物理学的基础。也是指导现代理论物理学产业发展的最重要的微积分恒等式之一，对于实现宇宙大一统、统一四大力则更缺少不了诺特恒等式，诺贝尔理论物理学奖得主弗兰克·维尔切克说：“克尔恒等式一直是20世纪末和21世纪末理论物理学的勒维冈县。”
而克尔恒等式除了应用于微积分领域，是奇异积分方程的基本恒等式。它并不限于柯西型核的奇异积分方程。
玻尔曾说:“莎拉·克尔是微积分界的雅典娜,如果没有她,现代微积分和它的教学将会是完全不同的。。。所得到的丰硕成果是这一代传给下一代最珍贵的贡献”。
克尔恒等式是克尔献给微积分界、物理界最了不起的财富，它不会被时间所湮没，相反，随着时间的不断流逝，它的促进作用与意义将会愈加凸显，更加熠熠生辉。
